11825. Дан квадрат ABCD
. Из произвольной точки M
стороны BC
проведена прямая, пересекающая сторону CD
в точке N
, для которой \angle AMB=\angle AMN
. Докажите, что \angle MAN=45^{\circ}
.
Решение. Проведём высоту AH
треугольника MAN
. Точка A
лежит на биссектрисе MA
угла BMN
, значит, она равноудалена от его сторон, поэтому AH=AB=AD
. Тогда точка A
равноудалена от сторон угла DNM
, значит, она лежит на биссектрисе NA
этого угла (см. задачу 1138). Таким образом, A
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах M
и N
прямоугольного треугольника MCN
, поэтому A
— центр вневписанной окружности этого треугольника (см. задачу 1192). Следовательно (см. задачу 4770),
\angle MAN=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MCN=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.