11833. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AP
. Известно, что центр окружности, описанной около треугольника ABP
, лежит на отрезке AC
. Найдите радиус этой окружности и сторону BC
, если AC=b
и AB=c
.
Ответ. \frac{bc}{b+c}
; \sqrt{b(b-c)}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, AD=2R
— её диаметр. Поскольку треугольник AOP
равнобедренный (OA=OP=R
),
\angle APO=\angle OAP=\angle BAP.
Значит, OP\parallel AB
. Тогда треугольник OPC
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия k
равен \frac{OP}{AB}=\frac{R}{c}
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BP}{CP}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{a},
поэтому
\frac{R}{c}=k=\frac{CP}{BC}=\frac{b}{b+c}.
Следовательно, R=\frac{bc}{b+c}
.
Точка B
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ABD=90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\cos\angle BAC=\cos\angle BAD=\frac{AB}{AD}=\frac{c}{2R}=\frac{c}{2\cdot\frac{bc}{b+c}}=\frac{b+c}{2b}.
Тогда по теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle BAC=
=c^{2}+b^{2}-2bc\cdot\frac{b+c}{2b}=c^{2}+b^{2}-c(b+c)=b^{2}-bc.
Следовательно,
BC=\sqrt{b^{2}-bc}=\sqrt{b(b-c)}.