11841. Окружность радиуса R_{1}
проходит через вершины A
и B
острых углов прямоугольного треугольника ABC
и через центр вписанной в него окружности. Докажите, что R_{1}=2R\sqrt{2}
.
Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы (см. задачу 8), поэтому AB=2R
.
Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда AI
и BI
— биссектрисы углов при вершинах A
и B
треугольника ABC
, поэтому
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770). Следовательно, по теореме синусов
R_{1}=\frac{AB}{2\sin\angle AIB}=\frac{2R}{2\sin135^{\circ}}=\frac{R}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=R\sqrt{2}.