11846. Докажите, что сторона правильного девятиугольника равна разности между большей и меньшей его диагоналями.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}\dots A_{9}
— правильный девятиугольник. Его вершины разбивают описанную окружность на девять равных дуг по 40^{\circ}
, поэтому хорды A_{1}A_{5}
и A_{2}A_{4}
параллельны, а углы при большем основании A_{1}A_{5}
равнобедренной трапеции A_{1}A_{2}A_{4}A_{5}
равны по 60^{\circ}
.
На луче A_{1}A_{5}
отложим отрезок A_{1}B=A_{1}A_{2}
. Угол BA_{1}A_{2}
равнобедренного треугольника BA_{1}A_{2}
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Тогда BA_{2}=A_{1}A_{2}=A_{4}A_{5}
и A_{2}B\parallel A_{4}A_{5}
, поэтому BA_{2}A_{4}A_{5}
— параллелограмм. Значит, BA_{5}=A_{2}A_{4}
. Следовательно,
A_{1}A_{2}=BA_{1}=A_{1}A_{5}-BA_{5}=A_{1}A_{5}-A_{2}A_{4}.
Что и требовалось доказать.