11849. На окружности радиуса R
расположены две смежные вершины квадрата. Расстояние между центрами квадрата и окружности равно d
. Найдите сторону квадрата, если R=5
и d=7
.
Ответ. 6 или 8.
Решение. Пусть вершины A
и B
квадрата ABCD
расположены на окружности радиуса 5. Расстояние между центром O
окружности и центром Q
квадрата больше радиуса окружности (7\gt5
), поэтому точки O
и Q
лежат по разные стороны от прямой AB
.
Пусть M
— середина AB
, а сторона квадрата равна x
. Тогда
OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25-\frac{x^{2}}{4}},~QM=AM=\frac{x}{2},
а так как OM=OQ-QM
, то
\sqrt{25-\frac{x^{2}}{4}}=7-\frac{x}{2}.
После очевидных преобразований получаем квадратное уравнение
x^{2}-14x+48=0,
из которого находим, что x=6
или x=8
.