11850. Отрезок, соединяющий середины сторон AD
и BC
четырёхугольника ABCD
, делится диагоналями на три равные части. Докажите, что ABCD
— трапеция и найдите отношение её оснований.
Ответ. 2:1
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, M
и N
— середины сторон AD
и BC
соответственно, а P
и Q
— точки пересечения отрезка MN
с диагоналями AC
и BD
соответственно. Обозначим
AP=a,~OP=p,~OC=c,~BQ=b,~OQ=q,~OD=d.
Применив теорему Менелая к треугольнику MDQ
и прямой AC
, получим
\frac{DO}{OQ}\cdot\frac{QP}{PM}\cdot\frac{MA}{AD}=1,~\mbox{или}~\frac{d}{q}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=1,
откуда d=2q
.
Применив теорему Менелая к треугольнику ADO
и прямой MN
, получим
\frac{AM}{MD}\cdot\frac{DQ}{QO}\cdot\frac{OP}{PA}=1,~\mbox{или}~\frac{1}{1}\cdot\frac{d+q}{q}\cdot\frac{p}{a}=1,
откуда
dp+pq=aq,~2pq+pq=aq,~a=3p.
Применив теорему Менелая к треугольнику NCP
и прямой BD
, получим
\frac{CO}{OP}\cdot\frac{PQ}{QN}\cdot\frac{NB}{BC}=1,~\mbox{или}~\frac{c}{p}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=1,
откуда c=2p
.
Применив теорему Менелая к треугольнику DCO
и прямой MN
, получим
\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PO}\cdot\frac{OQ}{QB}=1,~\mbox{или}~\frac{1}{1}\cdot\frac{c+p}{p}\cdot\frac{q}{b}=1,
откуда
cq+pq=bp,~2pq+pq=bp,~b=3q.
Таким образом,
\frac{AO}{OC}=\frac{a+p}{c}=\frac{3p+p}{2p}=2~\mbox{и}~\frac{BO}{OD}=\frac{b+q}{d}=\frac{3q+q}{2q}=2.
Значит, \frac{OA}{OC}=\frac{BO}{OD}
. Тогда треугольники AOD
и COD
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle OAD=\angle OCD
. Тогда AB\parallel CD
, причём AB=2CD\ne CD
. Следовательно, ABCD
— трапеция, а её основания AB
и CD
относятся как 2:1
.