11853. Докажите, что если R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей нетупоугольного треугольника, а h_{a}
— наибольшая его высота, то R+r\leqslant h_{a}
.
Решение. Сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника ABC
, до прямых BC
, AC
и AB
заключена между наибольшей и наименьшей высотами (см. задачу 5314), а сумма расстояний от центра описанной окружности нетупоугольного треугольника до его сторон равна R+r
(формула Карно, см. задачу 3257). Следовательно, R+r\leqslant h_{a}
.