11854. В ромб ABCD
, сторона которого равна 2 и угол при вершине A
равен 60^{\circ}
, вписана окружность. Докажите, что для любой точки этой окружности PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}=11
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат xOy
, взяв за начало O
точку пересечения диагоналей ромба и направив ось OX
по лучу OD
, а ось OY
— по лучу OA
. Тогда вершины ромба имеют следующие координаты: A_(0;\sqrt{3})
, D(0;-\sqrt{3})
; D(1:0)
, B(-1;0)
. Пусть точка P(x;y)
лежит на вписанной окружности ромба. Тогда
x^{2}+y^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4},
так как радиус окружности равен \frac{\sqrt{3}}{2}
(см. задачу 1409). Следовательно,
PA^{2}+PC^{2}+BD^{2}+PB^{2}=
=(x-0)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}+(x-0)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}+
+(x-1)^{2}+(y-0)^{2}+(x+1)^{2}+(y-0)^{2}=
=4x^{2}+4y^{2}+6+2=4(x^{2}+y^{2})+8=4\cdot\frac{3}{4}+9=3+8=11.