11870. Найдите геометрическое место точек плоскости параллелограмма ABCD
, для которых MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}
.
Ответ. Вся плоскость, если ABCD
— прямоугольник; противном случае — пустое множество.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Тогда OA=OC
и OB=OD
, поэтому
MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})^{2}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OM}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=0\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC})=0.
Поскольку векторы \overrightarrow{BA}
и \overrightarrow{DC}
коллинеарны, последнее равенство означает, что OM\perp AB
.
Группируя по-другому слагаемые в выражении
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD},
аналогично получим, что OM\perp BC
. Следовательно, если ABCD
— прямоугольник, то искомое ГМТ — вся плоскость параллелограмма ABCD
. В противном случае таких точек M
нет.