11876. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AB
. На дуге AB
, не содержащей точки C
, взята произвольная точка M
. Докажите, что MA+MB=2MC\sin\frac{1}{2}\angle C
.
Решение. Обозначим AC=BC=a
, \angle ACB=\gamma
.
Первый способ. Пусть CK
— высота треугольника ABC
. Тогда
AB=2AK=2AC\sin\angle ACK=2a\sin\frac{\gamma}{2}.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
BC\cdot MA+AC\cdot MB=AB\cdot MC,~\mbox{или}~a\cdot MA+a\cdot MB=2a\sin\frac{\gamma}{2}\cdot MC.
Следовательно,
MA+MB=2MC\sin\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим поворот вокруг точки C
, переводящий сторону CB
в CA
. Пусть при этом повороте точка A
перешла в A'
, а M
— в M'
. Тогда
\angle MAM'=\angle BAM+\angle BAA'+\angle A'AM'=\angle BAM+2\angle BAC+\angle ABM=
=(\angle BAM+\angle ABM)+2\angle BAC=(180^{\circ}-\angle AMB)+2\angle BAC=
=\angle ACB+2\angle BAC=180^{\circ}.
Значит, точка A
лежит между M
и M'
. При этом \angle MCM'=\gamma
и CM'=CM
. Следовательно,
MA+MB=MA+M'A=MM'=2CM\sin\frac{\gamma}{2}.