11890. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке E
, а лучи DA
и CB
в точке F
. Луч BA
пересекает описанную вокруг треугольника DEF
окружность в точке L
, а луч BC
пересекает ту же окружность в точке K
. Известно, что LK=5
, \angle EBC=15^{\circ}
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника EFK
.
Ответ. 5.
Решение. Поскольку четырёхугольник вписанный,
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=\angle CBE=15^{\circ}.
Вписанные в описанную окружность треугольника DEF
углы FLE
и FDE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle FLE=\angle FDE=\angle ADC=15^{\circ},
а так как \angle FBL=\angle CBE=15^{\circ}
, то треугольник BFL
равнобедренный. Значит,
\angle KFL=\angle BFL=180^{\circ}-2\cdot15^{\circ}=150^{\circ}.
Пусть искомый радиус описанной окружности треугольника EFK
(а значит, и треугольника LFK
) равен R
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{KL}{2\sin\angle KFL}=\frac{5}{2\sin150^{\circ}}=\frac{5}{2\cdot\frac{1}{2}}=5.