11919. В треугольнике ABC
углы A
и B
равны 45^{\circ}
и 30^{\circ}
соответственно, CM
— медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM
и BCM
касаются отрезка CM
в точках D
и E
. Найдите площадь треугольника ABC
, если DE=4(\sqrt{2}-1)
.
Ответ. 16(\sqrt{3}+1)
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, поэтому a\gt b
. Пусть вписанные окружности треугольников ACM
и BCM
касаются медианы CM
в точках D
и E
соответственно, полупериметры этих треугольников равны соответственно p_{1}
и p_{2}
. Тогда (см. задачу 219)
CD=p_{1}-AM=\frac{b+CM-AM}{2},~CE=p_{2}-BM=\frac{a+CM-BM}{2},
поэтому
4(\sqrt{2}-1)=DE=|CE-CD|=
=\left|\frac{a+CM-BM}{2}-\frac{b+CM-AM}{2}\right|=\frac{1}{2}|a-b|=\frac{1}{2}(a-b),
откуда a-b=8(\sqrt{2}-1)
.
По теореме синусов \frac{a}{\sin45^{\circ}}=\frac{b}{\sin30^{\circ}}
, откуда a=b\sqrt{2}
. Из системы
\syst{a-b=8(\sqrt{2}-1)\\a=b\sqrt{2},\\}
находим, что a=8\sqrt{2}
и b=8
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin\angle ACB=\frac{1}{2}ab\sin105^{\circ}=
=\frac{1}{2}\cdot8\sqrt{2}\cdot8\cdot(\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin45^{\circ})=
=32\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=16(\sqrt{3}+1).