11932. Одна сторона параллелограмма в
\sqrt{3}
раз больше другой стороны. Одна диагональ параллелограмма в
\sqrt{7}
раз больше другой диагонали. Во сколько раз один угол параллелограмма больше другого угла?
Ответ. В пять раз.
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны
x
и
x\sqrt{3}
, а диагонали —
y
и
y\sqrt{7}
. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), поэтому
y^{2}+7y^{2}=2x^{2}+2\cdot3x^{2},

откуда
y=x
. Это означает, что меньшая диагональ параллелограмма разбивает его на два равнобедренных треугольника, причём основание каждого из них в
\sqrt{3}
раз больше боковой стороны. Углы такого треугольника равны
120^{\circ}
,
30^{\circ}
,
30^{\circ}
, поэтому углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, равны
30^{\circ}
и
150^{\circ}
.