11933. На стороне AB
правильного треугольника ABC
как на основании построены равнобедренный треугольник ABD
с углом D
, равным 90^{\circ}
, и равнобедренный треугольник ABE
с углом E
, равным 150^{\circ}
, причём точки D
и E
лежат внутри треугольника ABC
. Докажите, что CD=DE
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота равностороннего треугольника ABC
со стороной, равной 2a
. Тогда точки D
и E
лежат на отрезке CH
, причём E
— между D
и H
.
Из прямоугольных треугольников AHD
и AHE
получаем
DH=AH=a,~EH=AH\tg15^{\circ}=a\tg(45^{\circ}-30^{\circ})=
=\frac{a(\tg45^{\circ}-\tg30^{\circ})}{1+\tg45^{\circ}\tg30^{\circ}}=\frac{a\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=a(2-\sqrt{3}).
Значит,
DE=DH-EH=a-a(2-\sqrt{3})=a(\sqrt{3}-1),
а так как
CD=CH-DH=a\sqrt{3}-a=a(\sqrt{3}-1),
то CD=DE
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Достроим треугольник ABC
до квадрата APQB
так, чтобы точки P
и C
лежали по одну сторону от прямой AB
. Треугольник APC
равнобедренный с углом 30^{\circ}
при вершине C
, поэтому
\angle CPQ=\angle90^{\circ}-\angle APC=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.
Аналогично, \angle CQP=15^{\circ}
. Значит, равнобедренные треугольники QCP
и AEB
равны, и поэтому CP=BE
.
Поскольку \angle ABP=\angle BAQ=45^{\circ}
, диагонали квадрата APBQ
пересекаются в точке D
. Треугольники CDP
и EDB
равны по двум сторонам и углу между ними
(CP=BE,~DP=DB,~\angle DPC=\angle DBE=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}).
Следовательно, CD=DE
. Что и требовалось доказать.