11935. Дан треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найти длину наименьшего отрезка, соединяющего точки на сторонах треугольника и делящего его на две равновеликие части.
Ответ. 4.
Решение. Пусть ABC
— треугольник со сторонами AB=10
, AC=8
, BC=6
. Он прямоугольный, так как
AB^{2}=100=64+36=AC^{2}+BC^{2}
(см. задачу 1972).
Предположим сначала, что концы D
и E
искомого отрезка DE=t
лежат на большем катете AC
и гипотенузе AB
соответственно (в конце решения докажем, что другого расположения отрезка быть не может).
Обозначим AD=x
, AE=y
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
\sin\alpha\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5}.
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24,
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin\alpha=\frac{1}{2}xy\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}xy=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12,
откуда xy=40
.
По теореме косинусов и неравенству Коши
t^{2}=DE^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha=x^{2}+y^{2}-2\cdot40\cdot\frac{4}{5}=
=x^{2}+y^{2}-64=x^{2}+\frac{1600}{x^{2}}-64\geqslant2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{1600}{x^{2}}}-64=16,
причём равенство достигается в случае, когда x^{2}=\frac{1600}{x^{2}}
, т. е. при
x=y=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
В этом случае
DE=t=\sqrt{16}=4.
Площадь равнобедренного треугольника S
с основанием t
и углом \alpha
при вершине вычисляется по формуле
S=\frac{1}{2}t\cdot\frac{1}{2}t\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{4}t^{2}\ctg\frac{\alpha}{2},
откуда
t=2\sqrt{\frac{S}{\ctg\frac{\alpha}{2}}}=2\sqrt{S\tg\frac{\alpha}{2}}.
Из этой формулы видно, что искомый отрезок убывает, если убывает угол \alpha
. Следовательно, этот отрезок лежит против наименьшего угла треугольника, а в нашем случае — это угол BAC
.