1194. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30^{\circ}
. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят прямой угол на три равные части.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает этот треугольник на два равнобедренных.
Решение. Пусть CH
и CM
— высота и медиана прямоугольного треугольника ABC
, проведённые из вершины прямого угла C
, \angle A=30^{\circ}
. Каждый из углов HCB
и HAC
в сумме с углом ACH
составляют 90^{\circ}
, поэтому
\angle HCB=\angle HAC=\angle A=30^{\circ}.
С другой стороны, в равнобедренном треугольнике AMC
(см. задачу 1109) углы при основании AC
равны, поэтому
\angle ACM=\angle CAM=\angle A=30^{\circ}.
Значит,
\angle HCM=\angle ACB-\angle HCB-\angle ACM=90^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle BCH=\angle HCM=\angle MCA.