11943. Проекции двух противоположных вершин прямоугольника на его диагональ разбивают её на три отрезка, равные 1. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ. \sqrt{3}
и \sqrt{6}
.
Решение. Пусть M
и N
— проекции вершин соответственно A
и C
прямоугольника ABCD
на диагональ BD
, причём BM=MN=ND=1
. Отрезок AM
— высота прямоугольного треугольника BAD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AB^{2}=BM\cdot BD=1\cdot3=3,~AD^{2}=DM\cdot BD=2\cdot3=6.
Следовательно,
CD=AB=\sqrt{3},~BC=AD=\sqrt{6}.