11948. Докажите, что p\geqslant\frac{3}{2}\sqrt{6Rr}
, где p
— полупериметр треугольника, а R
и r
— радиусы его вписанной и описанной окружностей.
Решение. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, S
— его площадь. Тогда (см. задачи 4259 и 452)
S=\frac{abc}{4R}=pr,
откуда abc=4pRr
.
Применив неравенство Коши для чисел a
, b
и c
, получим
2p=a+b+c\geqslant3\sqrt[{3}]{{abc}}=3\sqrt[{3}]{{4pRr}}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~8p^{3}\geqslant27\cdot4pRr~\Rightarrow~p^{2}\geqslant\frac{27}{2}Rr~\Rightarrow~p\geqslant\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{Rr}=\frac{3}{2}\sqrt{6Rr}.