11951. Острый угол параллелограмма равен \alpha
, диагонали равны m
и n
(m\geqslant n
). Докажите, что \ctg\frac{\alpha}{2}\geqslant\frac{m}{n}
.
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны a
и b
. По теореме косинусов
\syst{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=n^{2}\\a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha=m^{2},\\}
откуда
\syst{a^{2}+b^{2}=\frac{m^{2}+n^{2}}{2}\\2ab=\frac{m^{2}-n^{2}}{\cos\alpha},\\}
а так как a^{2}+b^{2}\geqslant2ab
, то
\cos\alpha\geqslant\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}},~\mbox{или}~\frac{1-\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}\geqslant\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}},
откуда получаем, что \ctg\frac{\alpha}{2}\geqslant\frac{m}{n}
.