11952. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке A
. Касательная к меньшей окружности пересекает большую окружность в точках B
и C
. Найдите геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольник ABC
.
Ответ. Окружность, гомотетичная данным с центром гомотетии в точке A
(без точки A
).
Решение. Пусть R
и r
— радиусы данных окружностей (R\gt r
), D
— точка касания меньшей окружности с отрезком BC
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, K
и L
— точки пересечения меньшей окружности с отрезками AB
и AC
соответственно.
Проведём в точке A
общую касательную к данным окружностям. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle AKL=\angle ABC
, поэтому KL\parallel BC
, и треугольник AKL
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{r}{R}
.
Положим AK=rx
и AB=Rx
. По теореме о касательной и секущей
BD^{2}=BK\cdot AB=(AB-AK)AB=(Rx-rx)Rx=(R-r)Rx^{2}.
По лемме Архимеда для сегмента (см. задачу 89) AD
— биссектриса треугольника ABC
, значит, точка I
лежит на отрезке AD
. При этом, по свойству биссектрисы треугольника
\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{Rx}{x\sqrt{(R-r)R}}=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R-r}},
поэтому
\frac{AI}{AD}=\frac{AI}{AI+ID}=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}+\sqrt{R-r}}.
Следовательно, искомое ГМТ — образ данной окружности радиуса r
при гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R-r}}
, т. е. окружность радиуса \rho=r\cdot\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}+\sqrt{R-r}}
, касающаяся в точке A
внутренним образом данных окружностей.