11962. У выпуклого вписанного в окружность двенадцатиугольника какие-то шесть сторон равны \sqrt{2}
, а каждая из шести оставшихся сторон равна \sqrt{24}
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \sqrt{38}
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, O
— её центр, AB
и BC
— две смежные, но не равные стороны данного двенадцатиугольника. Ясно, что такие стороны есть. Градусная мера меньшей дуги AC
, стягиваемой хордой AC
, равна сумме градусных мер меньших дуг, стягиваемых хордами AB
и BC
, а значит, равна шестой части градусной меры всей окружности, поэтому
\angle AOC=\smile ABC=\frac{1}{6}\cdot360^{\circ}=60^{\circ},
равнобедренный треугольник AOC
— равносторонний, а
\angle ABC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\smile ABC)=\frac{1}{2}(360^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}.
По теореме косинусов
R^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos150^{\circ}=
=2+24+2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{24}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2+24+12=38.
Следовательно, R=\sqrt{38}
.