11976. Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Ответ. Обязательно.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
— длины сторон треугольника. Тогда стороны разделятся на такие части:
a=\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c},~b=\frac{ba}{a+c}+\frac{bc}{a+c},~c=\frac{ca}{a+b}+\frac{cb}{a+c}.
Из отрезков, составляющих c
, первый меньше a
, а второй меньше b
(так как по неравенству треугольника \frac{c}{a+b}\lt1
). Тогда возьмём в первую тройку отрезки \frac{ab}{b+c}
, \frac{ac}{b+c}
, составляющие a
, и отрезок \frac{ca}{a+b}
. Последний из них наибольший (его знаменатель не больше, а числитель не меньше, чем у других), но меньше a
. Во вторую тройку возьмём отрезки \frac{ba}{a+c}
и \frac{bc}{a+c}
, составляющие b
, и отрезок \frac{cb}{a+b}
. Последний из них наибольший (аналогично), но меньше b
.
Возможны и другие способы разбить отрезки на две тройки.