11980. В остроугольном треугольнике ABC
точка O
— центр описанной окружности, H
— основание высоты, проведённой из вершины A
, а M
и N
— проекции точки H
на AC
и AB
соответственно. Докажите, что ломаная MON
делит площадь треугольника ABC
пополам.
Решение. Пусть AA_{1}
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Отрезок MO
— медиана треугольника AMA_{1}
, поэтому площадь треугольника AMO
вдвое меньше площади треугольника AMA_{1}
(см. задачу 3001). Аналогично, площадь треугольника ANO
вдвое меньше площади треугольника ANA_{1}
. Значит, площадь четырёхугольника AMON
вдвое меньше площади четырёхугольника AMA_{1}N
. Осталось доказать, что равны площади треугольника ABC
и четырёхугольника AMA_{1}N
.
Пусть отрезки MA_{1}
и NA_{1}
пересекают сторону BC
в точках E
и F
соответственно. Прямые A_{1}C
и HM
перпендикулярны AC
, поэтому они параллельны. Тогда треугольник CEM
равновелик треугольнику HEA_{1}
(см. задачу 3017). Аналогично, треугольник BFN
равновелик треугольнику HFA_{1}
. Значит, сумма площадей треугольников CEM
и BFN
равна площади треугольника EA_{1}F
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{AMEFN}+S_{\triangle CEM}+S_{\triangle BFN}=S_{AMEFN}+S_{\triangle EA_{1}F}=S_{AMA_{1}N}=2S_{\triangle MAN}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира: «Бипедальные равновеликости», Квант, 2020, N6, с.25-28