11985. Докажите, что любой разностный прямоугольный треугольник подобен египетскому (т. е. треугольнику со сторонами 3, 4, 5).
Решение. Пусть a
и b
— катеты, c
— гипотенуза прямоугольного треугольника, причём 2b=a+c
. Тогда c=2b-a
. По теореме Пифагора
a^{2}+b^{2}=c^{2},~\mbox{или}~a^{2}+b^{2}=4b^{2}-4ab+a^{2},~
3b^{2}-4ab=0,~b(3b-4a)=0,
а так как b\ne0
, то a=\frac{3}{4}b
. Тогда
c=2b-a=2b-\frac{3}{4}b=\frac{5}{4}b.
Треугольник со сторонами b
, \frac{3}{4}b
и \frac{5}{4}b
подобен треугольнику со сторонами 4, 3 и 5. Что и требовалось доказать.