11999. Внутри четырёхугольника ABCD
взяли точку P
. Прямые BC
и AD
пересекаются в точке X
. Оказалось, что прямая XP
является внешней биссектрисой углов APD
и BPC
. Пусть PY
и PZ
— биссектрисы треугольников APB
и DPC
. Докажите, что точки X
, Y
и Z
лежат на одной прямой.
Решение. Отрезок PX
— биссектриса внешних углов при общей вершине P
треугольников BPC
и APD
соответственно, поэтому (см. задачу 1645)
\frac{BX}{XC}=\frac{PB}{PC}~\mbox{и}~\frac{PA}{PD}=\frac{AX}{XD}.
Отрезки PH
и PZ
— биссектрисы треугольников APB
и CPD
соответственно, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{AY}{YB}=\frac{PA}{PB}~\mbox{и}~\frac{PD}{PC}=\frac{DZ}{ZC}.
Пусть прямая XY
пересекает отрезок AC
в точке R
. По теореме Менелая (см. задачу 1622) для треугольника ABC
и прямой XYR
, получаем
1=\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{AY}{YB}=\frac{PB}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{PA}{PB}=\frac{1}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot PA=
=\frac{PD}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{PA}{PD}=\frac{DZ}{ZC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{AX}{XD}.
Тогда по теореме Менелая точки Z
, R
и X
лежат на одной прямой, а так как точка Y
лежит на прямой XR
, то на одной прямой лежат и точки X
, Y
и Z
. Что и требовалось доказать.