12006. На стороне BC
тупоугольного треугольника ABC
(A\gt90^{\circ}
) постройте точку X
, для которой AX=\sqrt{BX\cdot CX}
.
Решение. Опишем около треугольника ABC
окружность с центром O
и на радиусе AO
как на диаметре построим окружность. Поскольку угол BAC
тупой, вершина A
и точка O
лежат по разные стороны от прямой BC
. Значит, окружность с диаметром OA
пересечёт сторону BC
в двух точках X_{1}
и X_{2}
. Докажем, что каждая из них удовлетворяет нужному условию.
В самом деле, поскольку AX_{1}O=90^{\circ}
, хорда AA_{1}
описанной окружности делится точкой X_{1}
пополам. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) AX_{1}\cdot X_{1}=BX_{1}\cdot CX_{1}
, откуда AX_{1}^{2}=BX\cdot CX
. Аналогично для точки X_{2}
. Задача имеет два решения.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.