12015. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точка M
— середина стороны BC
. Оказалось, что \angle AMD=60^{\circ}
. Точка K
лежит в треугольнике CMD
и симметрична точке B
относительно прямой AM
. Докажите, что KD+MC\geqslant CD
.
Решение. В силу симметрии, KM=MB=MC
. Медиана MK
треугольника BKC
равна половине стороны BC
, следовательно, треугольник BKC
прямоугольный. (см. задачу 1188). Значит, CK\parallel AM
, поэтому
\angle MKC=\angle KMA\geqslant60^{\circ},
так как точка K
лежит в треугольнике CMD
. В равнобедренном треугольнике MKC
известно, что
\angle MKC=\angle KCM\geqslant60^{\circ},~\angle KMC\leqslant60^{\circ}.
Тогда MC\geqslant KC
, так как против большей стороны треугольника лежит больший угол. Следовательно,
KD+MC\geqslant KD+KC\geqslant CD.