12034. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
симметричны центру I
вписанной в треугольник ABC
окружности относительно его сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Окружность, описанная около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проходит через точку A
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если BC=a
.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
. Тогда
IA_{1}=IB_{1}=IC_{1}=2r,
т. е. I
— центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а радиус этой окружности равен 2r
. Поскольку на этой окружности лежит точка A
, то IA=2r
. Из симметрии
AB_{1}=AI=2r=IB_{1},~\angle IAC=\angle B_{1}AC.
Треугольник AIB_{1}
— равносторонний, а AC
— биссектриса угла IAB_{1}
, поэтому
\angle BAC=2\angle IAC=2\angle CAB_{1}=\angle IAB_{1}=60^{\circ}.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов (см. задачу 23)
R=\frac{AB}{2\sin\angle BAC}=\frac{a}{2\sin60^{\circ}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.