12038. На стороне BC
правильного треугольника ABC
взяли точки K
и L
так, что BK=KL=LC
, а на стороне AC
взяли точку M
так, что AM=\frac{1}{3}AC
. Найдите сумму углов AKM
и ALM
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Поскольку CM:MA=CK:KB=2:1
, прямые MK
и AB
параллельны, поэтому треугольник MKC
тоже правильный.
Обозначим \angle ALM=\alpha
, \angle AKM=\beta
. Поскольку BK:KC=AM:MC=1:2
, прямые KM
и AB
параллельны, поэтому
\angle BAK=\angle AKM=\beta.
Из равенства треугольников ABK
и ALC
следует, что
\angle LAM=\angle BAK=\beta.
Поскольку CML
— внешний угол треугольника AML
, сумма \alpha+\beta
, т. е. сумма двух внутренних углов треугольника ALM
, равна углу LMC
.
Точка L
— середина стороны CK
правильного треугольника CMK
, поэтому ML
— биссектриса угла CMK
. Следовательно,
\alpha+\beta=\angle LMC=\frac{1}{2}\angle CMK=30^{\circ}.