12046. В четырёхугольнике ABCD
точки M
и N
— середины сторон BC
и AD
соответственно. Отрезок MN
делит площадь четырёхугольника пополам, а его диагонали пересекаются в точке O
. Найдите отношение OM:ON
, если AD=2BC
.
Ответ. 1:2
.
Решение. Поскольку MN
— медиана треугольника AMD
, треугольники AMN
и DMN
равновелики, а так как равновелики четырёхугольники ABMN
и DCMN
, то равновелики треугольники ABM
и DCM
. Но тогда равны расстояния от точек A
и D
до прямой BC
, значит, AD\parallel BC
. Тогда ABCD
— трапеция. Из подобия треугольников BOC
и AOD
следует, что
\frac{OM}{ON}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}.