12050. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точка K
— середина стороны BC
, а площадь треугольника AKD
равна половине площади всего четырёхугольника. Найдите длину медианы KE
треугольника AKD
, если AB=a
, CD=b
.
Ответ. \frac{a+b}{2}
.
Решение. Пусть площадь четырёхугольника ABCD
равна S
, M
и N
— середины сторон AB
и DC
соответственно. Четырёхугольник KMEN
— параллелограмм, площадь которого равна \frac{1}{2}S
(см. задачи 1204 и 3019), поэтому площадь треугольника KEM
равна \frac{1}{4}S
. Из условия задачи следует, что площадь треугольника AKE
тоже равна \frac{1}{4}S
. Значит, треугольники AKE
и KEM
равновелики, а так как KE
— их общая сторона, то точки A
и M
равноудалены от прямой KE
. Следовательно, AM\parallel KE
. Аналогично, DN\parallel KE
. Таким образом, ABCD
— трапеция или параллелограмм, поэтому
KE=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{a+b}{2}.