12053. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Известно, что периметры треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
равны. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если AC=m
, BD=n
.
Ответ. \frac{mn}{2}
.
Решение. Докажем, что данный четырёхугольник — ромб. Предположим что он не является параллелограммом, тогда обе его диагонали (или хотя бы одна из них) не делятся в точке пересечения пополам. Пусть, для определённости, OC\gt AO
, BO\geqslant OD
. Отложим на отрезках OC
и OB
отрезки OA'
и OD'
, соответственно равные отрезкам AO
и OD
. Треугольники AOD
и A'OD'
равны, однако периметр треугольника OBC
больше периметра треугольника A'OD'
— противоречие (см. задачу 4824).
Итак, данный четырёхугольник — параллелограмм, но тогда из равенства периметров, например, треугольников AOB
и BOC
следует, что AB=BC
. Значит, что ABCD
— ромб. Следовательно, его площадь равна половине произведения диагоналей.