12061. В треугольнике ABC
проведены медианы AM
и BN
, пересекающиеся в точке O
. Найдите углы треугольника ABC
, если периметры треугольников ANO
и BMO
равны, а около четырёхугольника CNOM
можно описать окружность.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AM=m_{a}
, BN=m_{b}
. По условию задачи
AN+AO+ON=BM+BO+OM,~\mbox{или}~\frac{b}{2}+\frac{2}{3}m_{a}+\frac{1}{3}m_{b}=\frac{a}{2}+\frac{2}{3}m_{b}+\frac{1}{3}m_{a},
откуда a-b=\frac{2}{3}(m_{a}-m_{b})
.
Пусть a\geqslant b
. В любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана (см. задачу 3537), поэтому m_{a}\leqslant m_{b}
. Тогда из полученного равенства следует, что a=b
. Таким образом, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.
Пусть CK
— третья медиана треугольника ABC
. Прямая CK
— серединный перпендикуляр к стороне AB
равнобедренного треугольника ABC
, а значит, и к параллельной AC
средней линии MN
треугольника ABC
. Тогда, CO
— диаметр описанной окружности треугольника OMN
, поэтому OM\perp CM
(см. задачу 1689) и AM\perp BC
. Медиана AM
треугольника ABC
является его высотой, значит, AC=AB=BC
, т. е. треугольник ABC
равносторонний.