12068. Окружности с центрами O
и O'
расположены на плоскости одна вне другой. Касательная, проведённая из точки O
ко второй окружности, пересекает первую окружность в точках A
и B
, а касательная из O'
к первой окружности пересекает вторую окружность в точке в точках A'
и B'
, причём точки A
и A'
лежат по одну сторону от прямой OO'
. Зная расстояния AA'=a
и BB'=b
, найдите OO'
.
Ответ. \frac{a+b}{2}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть прямые AB
и A'B'
пересекаются в точке P
, прямая AB
касается второй окружности радиуса R
в точке C
, а прямая A'B'
касается первой окружности радиуса r
в точке C'
. Обозначим, PA=x
, PA'=y
, PC'=c
, PC=d
.
Из точек C
и C'
отрезок OO'
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OO'
. Прямоугольные треугольники OC'P
и O'CP
подобны, поэтому \frac{PC'}{PC}=\frac{OC'}{O'C}
, или \frac{c}{d}=\frac{r}{R}
.
По теореме о касательной и секущей PC'^{2}=PA\cdot PB
, или c^{2}=x(x+2r)
. Аналогично, d^{2}=y(y+2R)
. Значит,
\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{c^{2}}{d^{2}}=\frac{x(x+2r)}{y(y+2R)},
R^{2}x^{2}+2rR^{2}x=r^{2}y^{2}+2Rr^{2}y,~R^{2}x^{2}-r^{2}y^{2}+2rR^{2}x-2Rr^{2}y=0,
(Rx-ry)(Rx+ry)+2rR(Rx-ry)=0,~(Rx-ry)(Rx+ry+2rR)=0,
а так как Rx+ry+2rR\ne0
, то Rx=ry
, или \frac{x}{r}=\frac{y}{R}
, поэтому
\frac{PA}{AO}=\frac{x}{r}=\frac{y}{R}=\frac{PA'}{A'O'}.
Тогда, AA'\parallel OO'
, а так как
\frac{PA}{AB}=\frac{x}{2r}=\frac{y}{2R}=\frac{PA'}{A'B'},
то BB'\parallel OO'
. Значит, ABB'A'
— трапеция с основаниями AA'=a
и BB'=b
, а OO'
— её средняя линия. Следовательно,
OO'=\frac{AA'+BB'}{2}=\frac{a+b}{2}.