12078. Каждая сторона остроугольного треугольника ABC
меньше соответствующей стороны треугольника A'B'C'
. Докажите, что R\lt R'
, где R
и R'
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
и A'B'C'
соответственно.
Решение. Сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому все три неравенства
\angle BAC\gt\angle B'A'C',~\angle CBA\gt\angle C'B'A',~\angle ACB\gt A'C'B'
не могут быть выполнены. Пусть для определённости \angle BAC\geqslant B'A'C'
. Тогда \sin\angle BAC\geqslant\sin\angle B'A'C'
, поскольку угол BAC
острый, а так как BC\lt B'C'
,
R=\frac{BC}{2\sin BAC}\lt\frac{B'C'}{2\sin B'A'C'}=R'.
Примечание. Эту задачу можно обобщить. Пусть многоугольник M
, вписанный в окружность радиуса R
, таков, что центр окружности лежит внутри M
. Тогда для вписанного многоугольника M'
, полученного из M
увеличением длин сторон, радиус описанной окружности больше R
. Это утверждение, вообще говоря, неверно для произвольного вписанного многоугольника (скажем, утверждение задачи неверно для тупоугольного треугольника ABC
)