12080. Дан параллелограмм ABCD
. На прямых AB
и BC
выбраны точки соответственно H
и K
так, что треугольники KAB
и HCB
равнобедренные (KA=AB
и HC=CB
). Докажите, что треугольник KDH
тоже равнобедренный.
Решение. Из равенства вертикальных углов ABK
и CBK
следует равенство углов BAK
и BCH
при вершинах равнобедренных треугольников KAB
и HCB
. Поскольку
AD=CB=HC,~KA=AB=CD
\angle DAK=\angle DAH+\angle HAK=\angle DCB+\angle BAK=\angle DCB+\angle BCH=\angle DCH,
треугольники ADK
и CHD
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle AKD=\angle CDH=\angle AHD.
Из точек K
и H
, лежащих по одну сторону от прямой AD
, отрезок AD
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, D
, H
и K
лежат на одной окружности, а так как ADCH
— равнобедренная трапеция, то точки A
, D
, C
и H
тоже лежат на одной окружности. Эти две окружности проходят через точки A
, D
и H
, не лежащие на одной прямой, следовательно, они совпадают, т. е. все пять точек A
, D
, H
, C
и K
лежат на одной окружности.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому
\smile DCH=\smile DC+\smile CH=\smile AK+\smile AD=\smile KAD.
Вписанные углы DKH
и DHK
опираются на равные дуги DCH
и KAD
, значит, \angle DKH=\angle DHK
. Следовательно, треугольник KDH
равнобедренный.