12081. Докажите, что если четырёхугольник ABCD
, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках A
и C
пересекаются на продолжении диагонали BD
, то:
а) касательные в точках B
и D
пересекаются на продолжении диагонали AC
,
б) биссектрисы внутренних углов A
и C
четырёхугольника пересекаются на диагонали BD
(а углов B
и D
— на диагонали AC
).
Решение. а) Пусть касательные в точках A
и C
к описанной окружности данного четырёхугольника пересекаются в точке, лежащей на прямой BD
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует равенство углов BAK
и ADK
, поэтому треугольник ABK
подобен треугольнику DAK
по двум углам. Значит, \frac{AB}{AD}=\frac{BK}{KA}
. Аналогично, \frac{CB}{CD}=\frac{BK}{KC}
. Из этих равенств, учитывая, что KA=KC
, получим \frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CD}
.
Обозначим
\angle CAD=\alpha,~\angle ACD=\gamma,~\angle ADC=\delta.
По теореме синусов
\frac{AD}{CD}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{\sin(180^{\circ}-\delta-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{\sin((180^{\circ}-\delta)-\alpha)}{\sin\alpha}=
=\frac{\sin(180^{\circ}-\delta)\cos\alpha-\cos(180^{\circ}-\delta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\sin(180^{\circ}-\delta)\ctg\alpha+\cos\delta.
При движении от точки A
к точке D
по дуге окружности величина \delta
— постоянная, \sin(180^{\circ}-\delta)\gt0
, а \ctg\alpha
строго убывает при увеличении \alpha
от 0^{\circ}
до 180^{\circ}-\delta
. Значит, условию \frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CD}
при заданных A
, B
и C
соответствует одно определённое положение точки D
. Следовательно, это условие не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы точки B
и D
и точка пересечения касательных, проведённых к окружности в точках A
и C
, лежали на одной прямой.
Точно так же можно доказать, что \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}
— необходимое и достаточное условие пересечения на прямой AC
касательных в точках B
и D
. Это условие совпадает с условием \frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CD}
, поэтому оба условия можно записать в симметричном виде AB\cdot CD=BC\cdot AD
(т. е. четырёхугольник ABCD
— гармонический). Отсюда следует утверждение пункта а).
б) Пусть AL_{1}
и CL_{2}
— биссектрисы треугольников BAD
и BCD
. Тогда
\frac{BL_{1}}{DL_{1}}=\frac{AB}{AD},~\frac{BL_{2}}{DL_{2}}=\frac{BC}{CD}
(см. задачу 1509), поэтому из условия \frac{AB}{CB}=\frac{AD}{CD}
следует, что \frac{BL_{1}}{DL_{1}}=\frac{BL_{2}}{DL_{2}}
.
Каждому значению отношения \frac{BL}{DL}=\frac{AD}{CD}
соответствует одна точка L
на отрезке BD
, поскольку при движении точки L
от точки B
к D
эта величина строго возрастает. Следовательно, точки L_{1}
и L_{2}
совпадают. Отсюда следует утверждение пункта б).
Примечание. Свойство б) выполняется и для биссектрис внешних углов при противоположных вершинах четырёхугольника.