12090. Дан квадрат
ABCD
с центром
O
. Из точки
P
, лежащей на меньшей дуге
CD
описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону
CD
в точках
M
и
N
. Прямые
PM
и
PN
пересекают отрезки
BC
и
AD
соответственно в точках
Q
и
R
. Докажите, что медиана треугольника
OMN
, проведённая из вершины
O
перпендикулярна отрезку
QR
и равна его половине.
Решение. Пусть радиус вписанной окружности данного квадрата равен
r
;
X
,
T
и
Y
— точки пересечения лучей соответственно
PN
,
PO
и
PM
с описанной окружностью квадрата
ABCD
,
K
и
L
— точки касания прямых
PR
и
PQ
с отрезками
PR
и
PQ
соответственно.
Поскольку
PT
— диаметр окружности, описанной около данного квадрата,
\angle PXT=\angle PYT=90^{\circ},

а так как
OK\perp PX
и
OL\perp PY
, то
K
и
L
— середины хорд
PX
и
PY
. Тогда
OK
и
OL
— средние линии прямоугольных треугольников
PXT
и
PYT
, поэтому
XT=2OK=2r,~YT=2OL=2r.

Отрезки
OK
и
OL
— медианы прямоугольных треугольников
POX
и
POY
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому
PX=2OK=2r,~PY=2OL=2r.

Таким образом,
PXTY
— ромб с прямым углом, т. е. квадрат, причём его описанная и вписанная окружности те же, что у и квадрата
ABCD
.
При повороте вокруг точки
O
на
90^{\circ}
, переводящем вершину
C
в
D
, прямая
CB
переходит в прямую
DC
, а прямая
PY
— в прямую
XP
, поэтому точка
Q
пересечения прямых
BC
и
PY
переходит в точку
N
пересечения прямых
DC
и
XP
. Значит,
ON=OQ,~OR=OM,~\angle QON=\angle MOR=90^{\circ}.

Достроим треугольник
MON
до параллелограмма
OMSN
. Обозначим
\angle MON=\alpha
. Тогда
MS=ON=OQ,~OM=OR,~

\angle QOR=\angle QON+\angle MOR-\angle MON=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\alpha=\angle SMO.

Значит, треугольник
QOR
равен треугольнику
OMS
по двум сторонам и углу между ними. При этом стороны
OQ
и
OR
треугольника
QOR
соответственно перпендикулярны сторонам
MS
и
OM
треугольника
OMC
. Следовательно, прямая
OS
, содержащая медиану треугольника
MON
, перпендикулярна прямой
QR
. Кроме того, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому указанная медиана равна половине отрезка
OS
, а значит, половине
QR
. Что и требовалось доказать.