12107. Из точки P
, лежащей вне окружности с центром O
, проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A
и B
. Отрезок OP
разбивается окружностью на отрезки OQ=8
и PQ=9
. Найдите хорду AB
и тангенс угла OAB
.
Ответ. \frac{240}{17}
, \frac{8}{15}
.
Решение. В прямоугольном треугольнике OAP
с прямым углом при вершине A
известно, что
OA=OQ=8,~OP=OQ+QP=8+9=17.
По теореме Пифагора
PA=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15.
Поскольку прямая OP
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 1180), точка H
пересечения AB
и OP
— середина отрезка AB
, а AH
— высота прямоугольного треугольника OAP
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1967),
AB=2AH=2\cdot\frac{OA\cdot PA}{OP}=2\cdot\frac{8\cdot15}{17}=\frac{240}{17},
\tg\angle OAB=\tg\angle OAH=\tg\angle APO=\frac{OA}{PA}=\frac{8}{15}.