12111. В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, центр тяжести (точку пересечения медиан) и ортоцентр (точку пересечения высот). Затем сам треугольник стёрли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.
Ответ. \arccos\frac{1}{4}
, \arccos\frac{1}{4}
, 180^{\circ}-2\arccos\frac{1}{4}
.
Решение. Пусть O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан, H
— ортоцентр треугольника. Точки O
, M
и H
лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника (см. задачу 5044), причём OM:MH=1:2
, поэтому, если точка I
не лежит на этой прямой, можно однозначно установить какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Следовательно, все четыре точки должны лежать на одной прямой.
Заметим, что эта прямая не может проходить более чем через одну вершину треугольника. Предположим, что она не проходит через вершины A
и B
. Известно, что \angle ABO=\angle CBH
(см. задачу 20), поэтому BI
— биссектриса угла OBH
, значит, точка I
лежит на отрезке OH
, причём, если OI:IH\ne2
, роль данных точек устанавливается однозначно. Следовательно (см. задачу 1509),
OB:BH=OI:IH=2~\Rightarrow~BH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R,
где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично, AH=\frac{1}{2}R
. Тогда треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.
Пусть A_{0}
— середина стороны BC
. Тогда (см. задачу 1257)
OA_{0}=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{4}R.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника BOA_{0}
получаем
OA_{0}=OB\cos\angle BOA_{0}=R\cos\angle A.
Значит, \frac{1}{4}R=R\cos\angle A
, откуда
\cos\angle B=\cos\angle A=\frac{1}{4}.
Примечание. См. также статью А.А.Заславского «Эйлер и геометрия», Квант, 2007, N3, с.37-40.