12113. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=\sqrt{2x^{2}+2x+1}+\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-6x+9}+\sqrt{2x^{2}-10x+13}.
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Заметим, что
f(x)=\sqrt{2x^{2}+2x+1}+\sqrt{2x^{2}-2x+5}+\sqrt{2x^{2}-6x+9}+\sqrt{2x^{2}-10x+13}=
=\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(x+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(x-3)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(x-3)^{2}}.
Правая часть полученного равенства есть сумма расстояний от точки M(x;x)
до точек A(0;-1)
, B(2;-1)
, C(0;3)
и D(2;3)
. Четырёхугольник ABDC
— прямоугольник. Сумма расстояний от точки M
до его вершин минимальна, если M
— точка пересечения его диагоналей (см. задачу 3596), т. е. M\left(\frac{0+2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=M(1;1)
. Эта минимальная сумма равна удвоенной диагонали четырёхугольника, т. е. 2\sqrt{4^{2}+2^{2}}=4\sqrt{5}
.
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.