12136. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
с непараллельными сторонами биссектрисы углов A
и B
пересекаются в точке P
, а биссектрисы углов C
и D
пересекаются в точке Q
(точки Q
и P
различны). Прямая PQ
проходит через середину стороны AB
. Найдите угол DAB
, если \angle ABC=\alpha
.
Ответ. \alpha
.
Решение. Пусть прямые AD
и BC
пересекаются в точке O
, причём точки O
и P
лежат по разные стороны от прямой AB
. Тогда P
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A
и B
треугольника AOB
, а Q
— точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника COD
при вершинах C
и D
. Значит, точки P
и Q
лежат на биссектрисе угла AOB
(см. задачи 1140 и 1192).
Треугольник AOB
равнобедренный, так как его медиана OM
является биссектрисой, значит, \angle OAB=\angle OBA
. Следовательно,
\angle DAB=\angle ABC=\alpha.