12150. Хорды AB
и CD
окружности с центром O
имеют длину 10. Продолжения отрезков BA
и CD
соответственно за точки A
и D
пересекаются в точке P
, причём DP=3
. Прямая OP
пересекает отрезок AC
в точке L
. Найдите отношение AL:LC
.
Ответ. 3:13
.
Решение. Опустим из точки O
перпендикуляры OH
и ON
на хорды AB
и CD
соответственно. Равные хорды равноудалены от центра окружности (см. задачу 1673), поэтому OH=ON
. Прямоугольные треугольники POH
и PON
равны по катету и гипотенузе, поэтому \angle OPH=\angle OPN
. Значит, PL
— биссектриса треугольника APC
.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому
DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=AN,~AP=PN-AN=PH-DH=DP=3.
Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AL}{LC}=\frac{AP}{PC}=\frac{AP}{PD+DC}=\frac{3}{3+10}=\frac{3}{13}.