12164. В треугольнике ABC
угол при вершине A
в два раза больше угла при вершине C
. Через вершину B
проведена касательная l
к окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
. Расстояния от точек A
и C
до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A
до прямой BC
.
б) Найдите радиус окружности \Omega
длину стороны AB
.
Ответ. а) 5
; б) R=\frac{32}{7}
, AB=\frac{16}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть A_{1}
и C_{1}
— проекции точек соответственно A
и C
на прямую l
, \angle ACB=\gamma
, \angle BAC=2\gamma
, радиус окружности \Omega
равен R
. По теореме синусов
AB=2R\sin\gamma,~BC=2R\sin2\gamma.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABA_{1}=\angle ACB=\gamma,~\angle CBC_{1}=\angle BAC=2\gamma.
Заметим, что \gamma\lt90^{\circ}
(иначе сумма углов треугольника ABC
больше 180^{\circ}
). Тогда
4=AA_{1}=AB\sin\gamma=2R\sin^{2}\gamma,~
9=CC_{1}=BC\sin2\gamma=2R\sin^{2}2\gamma=8R\sin^{2}\gamma\cos^{2}\gamma,
откуда
\frac{2R\sin^{2}\gamma}{8R\sin^{2}\gamma\cos^{2}\gamma}=\frac{4}{9},~\mbox{или}~\cos^{2}\gamma=\frac{9}{16}.
Значит,
\sin^{2}\gamma=\frac{7}{16},~\sin\gamma=\frac{\sqrt{7}}{4},
R=\frac{4}{2\sin^{2}\gamma}=\frac{2}{\frac{7}{16}}=\frac{32}{7},~AB=2R\sin\gamma=2\cdot\frac{32}{7}\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{16}{\sqrt{7}}.
Пусть H
— проекция вершины A
на прямую BC
. Тогда расстояние от точки A
до прямой BC
равно длине отрезка AH
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AH=AB\sin\angle ABC=2R\sin\gamma\sin(180^{\circ}-3\gamma)=\frac{64}{7}\sin\gamma(3\sin\gamma-4\sin^{3}\gamma)=
=\frac{64}{7}(3\sin^{2}\gamma-4\sin^{4}\gamma)=\frac{64}{7}\left(\frac{3\cdot7}{16}-\frac{4\cdot49}{256}\right)=12-7=5.