1217. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
Ответ. 12.
Указание. Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна катету данного треугольника.
Решение. Пусть ABC
— данный прямоугольный треугольник; вершины M
и N
прямоугольника принадлежат катетам AC
и BC
, а вершина K
— гипотенузе AB
.
Треугольники AMK
и KNB
— равнобедренные и прямоугольные. Поэтому MK=AM
и NK=NB
. Следовательно,
MK+KN=AM+KN=AM+MC=6,
а периметр прямоугольника равен 12.