12186. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Две окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
равных радиусов с центрами O_{1}
и O_{2}
вписаны в углы BAD
и BCD
соответственно, при этом первая касается стороны AD
в точке K
, а вторая касается стороны BC
в точке T
.
а) Найдите радиус окружности \Omega_{1}
, если AK=2
, CT=8
.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O_{2}
— центр окружности, описанной около треугольника BOC
. Найдите угол BDC
.
Ответ. а) r=4
; б) \angle BDC=\arctg\frac{\sqrt{5}-1}{2}
или \angle NDC=180^{\circ}-\arctg\frac{\sqrt{5}+1}{2}
.
Решение. а) Лучи AO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов BAD
и BCD
(см. задачу 1724). Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов BAD
и BCD
равна 180^{\circ}
, а сумма их половин KAO_{1}
и TCO_{2}
равна 90^{\circ}
.
Пусть \angle KAO_{1}=\alpha
. Тогда
\angle TO_{2}C=90^{\circ}-\angle TCO_{2}=\alpha.
Пусть радиусы окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
равны r
. Выражая двумя способами \tg\alpha
, получаем
\tg\alpha=\frac{O_{1}K}{AK}=\frac{CT}{O_{2}T},~\frac{r}{2}=\frac{8}{r},
откуда r=4
.
б) Треугольник BO_{2}C
равнобедренный, так как O_{2}B=O_{2}C
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC
, поэтому высота этого треугольника также является его медианой. Точки O
, O_{2}
и T
лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC
), а O_{2}O=O_{2}C
, так как O_{2}
— центр описанной окружности треугольника BOC
. По теореме Пифагора
O_{2}O=O_{2}C=\sqrt{O_{2}T^{2}+CT^{2}}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5},
Возможны два случая: точки O_{2}
и O
могут лежать либо по одну сторону от прямой BC
(рис. 1), либо по разные стороны от неё (рис. 2). В первом случае
OT=OO_{2}+O_{2}T=4+4\sqrt{5},~\angle BDC=\frac{1}{2}BOC=\angle COT=
=\arctg\frac{CT}{OT}=\arctg\frac{8}{4+4\sqrt{5}}=\arctg\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Во втором случае
OT=OO_{2}-O_{2}T=4\sqrt{5}-4,~\angle BDC=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=180^{\circ}-\angle COT=
=180^{\circ}-\arctg\frac{CT}{OT}=180^{\circ}-\frac{8}{4\sqrt{5}-4}=180^{\circ}-\arctg\frac{\sqrt{5}+1}{2}.