12221. На основании AC
равнобедренного треугольника ABC
построена как на диаметре окружность, пересекающая сторону BC
в точке N
, причём BN:NC=3:1
. Найдите отношение сторон AC
и BC
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Точка N
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому AN\perp BC
, т. е. AN
— высота треугольника ABC
. Пусть BN=3t
, NC=t
. Тогда AB=BC=4t
. По теореме Пифагора
AB^{2}-BN^{2}=AN^{2}=AC^{2}-NC^{2},~\mbox{или}~16t^{2}-9t^{2}=AC^{2}-t^{2},
откуда находим, что AC=2t\sqrt{2}
. Следовательно,
\frac{AC}{BC}=\frac{2t\sqrt{2}}{4t}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.