12241. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
стороны BC
и AD
равны 2\sqrt{3}
и 4 соответственно. Расстояние между серединами диагоналей BD
и AC
равно 1. Найдите угол между прямыми BC
и AD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно, а P
— середина стороны CD
. Тогда MP
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому MP\parallel AD
и MP=\frac{1}{2}AD=2
. Аналогично, NP\parallel BC
и MP=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}
.
Поскольку
NP^{2}+MN^{2}=3+1=4=MP^{2},
треугольник MPN
прямоугольный с прямым углом при вершине N
(см. задачу 1972). Его катет MN
равен половине гипотенузы MP
. Значит, угол между прямыми PM
и PN
равен 30^{\circ}
. Следовательно, угол между соответственно параллельными им прямыми AD
и BC
тоже равен 30^{\circ}
.