12247. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Точка N
лежит на продолжении стороны BA
за вершину A
, причём AN:AB=1:2
. Точка P
лежит на продолжении стороны BC
за вершину C
, причём CP:BC=1:3
. Найдите отношение площадей треугольников MNP
и ABC
.
Ответ. 7:12
.
Решение. Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. Точка M
— середина стороны AC
, а точки A
и C
делят отрезки BN
и BP
в отношениях AN:AB=1:2
и CP:BC=1:3
, поэтому (см. задачи 3000 и 3007)
S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CBM}=\frac{1}{2}S,
S_{\triangle BMN}=\frac{BN}{AB}S_{\triangle ABM}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{3}{4}S,~
S_{\triangle BMP}=\frac{BP}{BC}S_{\triangle CBM}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}S,
S_{\triangle NBP}=\frac{BN}{AB}\cdot\frac{BP}{BC}S=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}S=2S.
Тогда
S_{\triangle MNP}=S_{\triangle NBP}-S_{\triangle BMN}-S_{\triangle BMP}=2S-\frac{3}{4}S-\frac{2}{3}S=\frac{7}{12}S.
Следовательно, \frac{S_{\triangle MNP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{7}{12}
.