12250. В треугольнике ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине A
проведены серединные перпендикуляры к сторонам AB
и AC
, пересекающие прямые AC
и AB
в точках N
и M
соответственно. Известно, что BC=8
. Найдите NM
.
Ответ. 8.
Решение. Заметим, что точка N
не может лежать на луче AC
, так как в противном случае угол при вершине A
прямоугольного треугольника APN
был бы острым. Значит, точка N
лежит на продолжении стороны AC
за точку C
. Аналогично, точка M
лежит на продолжении стороны AB
за точку A
. Тогда
\angle BAN=\angle CAN=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Точка N
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, поэтому AN=NB
. Значит, треугольник ANB
равносторонний, и AN=AB
. Аналогично, AM=AC
. Тогда треугольники ANM
и ABC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, NM=BC=8
.